Kronecker-Чeбыщeв 定理

对任意的无理数 $\alpha$ 以及数 $\beta$, 存在无限个整数 $p,q$ ($p>0$), 使得

\[
|p\alpha-q+\beta| < \frac{3}{p}.
\]

由此可推出: 对任意实数 $\beta$, 存在整数列 $\{n_k\}$, 使得

\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\sin n_k=\sin\beta.
\]

事实上, 只要令 $\alpha=2\pi$, 取 Kronecker-Чeбыщeв 定理中无限个 $p_k,q_k$, 得

\[
2p_k\pi-q_k+\beta=o(1).
\]

从而令 $q_k=2p_k\pi+\beta+o(1)$. 令 $n_k=q_k$ 即可.

References:

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_approximation_theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker%27s_theorem